Nacido en Madrid, con 23 años conoció a Millán Salcedo y Fernando Conde en la Escuela de Arte Dramático de Madrid y entonces surgió la idea de formar el trío humorístico "Martes y Trece".

En cine, ha trabajado en las películas "La corte del faraón", "Martes y Trece, ni te cases ni te embarques", "La loca historia de los tres mosqueteros", "Aquí huele a muerto" y "El robobo de la jojoya" (estas dos últimas se encuentran entre las películas más taquilleras de la historia de nuestro cine).

Ha interpretado diferentes papeles en teatro, en las obras "Hair", "Gospel", "Contacto peculiar", "Un hombre solo" y "Nadie es perfecto".

En lo que se refiere al mundo televisivo ha protagonizado, como componente, del que pasó a ser dúo "Martes y Trece", todos los "Fin de año" de TVE desde el año 1984 hasta 1997 (salvo en 1987). Todos estos programas fueron líderes de audiencia, así como casi todos los demás especiales y series de programas realizados por el dúo ("El retorno" y "Viéndonos").

En los últimos años de existencia de "Martes y Trece", Josema compaginó sus trabajos en solitario con los del dúo, protagonizando la película "Adiós tiburón" y la serie de 66 capítulos "Todos los hombres sois iguales", emitida por Telecinco con un gran resultado tanto de crítica como de audiencia. Para esta misma cadena grabó, en 1999, 26 capítulos de la serie "Mediterráneo".

Protagonizó la serie "El Marqués de Sotoancho", basada en una obra de Alfonso Ussía, y ya en el año 2000 regresó a la televisión pública con el programa "El burladero", co-presentado con otros artistas como Los Morancos, Chiquito de la Calzada, Paz Padilla y Ramón Arangüena, un nuevo formato en el que se trataba de informar y a la vez entretener a los espectadores.

Desde mediados de 2006 y durante más de dos años, Josema Yuste representó junto a Florentino Fernández la obra "Una pareja de miedo" por toda España. Comedia que ahora pasa al cine de la mano de Sáenz de Heredia.

Antes de esta película rodó con Pedro Masó "Atraco a las tres y media" en 2002.

El 24 de diciembre de 2008, Nochebuena, realizó junto a Florentino el especial titulado "Josema y Flo Especial Nochebuena ¿Y ahora qué?". Un programa de humor que incluía las mejores parodias, sketches, imitaciones y doblajes de una pareja que se unía por primera vez en televisión.

También ha participado en varios doblajes de películas, siendo los más conocidos los realizados para Walt Disney y más en concreto "Aladin", donde da voz al famoso Genio de la lámpara, y B.E.N. en la película "El planeta del tesoro".