Es un actor ganador de numerosos premios cuya capacidad de transformarse en un sinfín de personajes le ha convertido en uno de los actores más solicitados de la actualidad. Azaria presta su voz a varios personajes clave de la serie cómica de animación Los Simpson, habiendo ganado tres premios Emmy por su trabajo en el programa. Recientemente se oyó su voz en la gran pantalla en Los Simpsons, que fue candidata a un premio Globo de Oro. Azaria también puso voz a Bartok, el cómico murciélago del largometraje de animación de Fox Anastasia, consiguiendo un premio Annie.

Azaria obtuvo una candidatura al Premio del Gremio de Actores Cinematográficos por su memorable actuación como Agador Spartacus, el criado guatemalteco que acapara la pantalla en la película de Mike Nichols Una Jaula de Grillos.

También produjo y protagonizó la serie de Showtime Huff, aclamada por la crítica y candidata a siete premios Emmy. Azaria obtuvo una candidatura a este premio y al SAG por su actuación, así como un premio Emmy por su papel protagonista en el aclamado telefilme de la ABC Tuesdays with Morrie. Fue candidato a un Emmy por su papel de David ("el científico" de Phoebe) en la exitosa serie de NBC, Friends, y por su frecuente papel de Nat, el que pasea al perro, en la serie de NBC, Mad about You. Otros trabajos en televisión incluyen el telefilme candidato al Globo de Oro ® Fail-Safe, de la CBS, y la miniserie de la NBC, Uprising.

Azaria se formó en la prestigiosa Academia Americana de Arte Dramático de Nueva York y encarnó a Hamlet en un montaje de "Rosencrantz and Guildenstern Are Dead" escenificado en la universidad de Columbia. Después de mudarse a Los Ángeles, Azaria estudió a las órdenes de Roy London e intervino en el documental "Special Thanks to Roy London", que describía la vida de London y que se estrenó en 2005 en el Festival de Cine Tribeca. Experto en piezas cómicas breves e improvisadas, llegó a ser un favorito de los clubes locales de comedias y fue coautor de "An Evening on Thin Ice", representada en Theatre-Theatre. Azaria también ganó un premio Dramalogue por su actuación en "Conspicuous Consumption."