Acheson ha sido ganador en tres ocasiones del Premio de la Academia por sus diseños de vestuario, ganando su primer premio en 1988 por su trabajo en El Último Emperador de Bernardo Bertolucci, protagonizada por Peter OToole, John Lone y Joan Chen. Continuó con un segundo premio en 1989 por Amistades Peligrosas de Stephen Frears, protagonizada por Glenn Close, John Malkovich, Michelle Pfeiffer, Keanu Reeves y Uma Thurman. Acheson fue galardonado con su tercer Premio de la Academia en 1996 por sus diseños para Restauración, dirigida por Michael Hoffman y protagonizada por Robert Downey Jr, Meg Ryan, Ian McKellen y Sam Neill.