Glover asistió a la Bristol Grammar School, donde coincidió en la misma clase con el actor Timothy West, se formó en el National Youth Theatre y actuó con la Royal Shakespeare Company. Durante los 60 y los 70, Glover apareció con frecuencia en programas de la televisión británica, incluidos "Los vengadores", "Doctor Who" y "Los 7 de Blake". También apareció en "¿Qué sucedió entonces?" en 1967, donde interpretaba al oponente de Quatermass, el coronel Breen.